Barisan Deret Aritmatika dan Geometri

Barisan Deret Aritmatika dan Geometri

Makalah ini ditujukan untuk memenuhi tugas

“Matematika MI/SD”

Dosen Pengampu :

Nurina Ayuningtyas, S.Pd, M.Pd

Anggota Kelompok 6 :

1.      Revida Wahyu Putri Nur Rohmah  (D97216075)

2.      Ryan Eka Rahmawati                     (D97216077)

3.      Shinta Prasti Permatadewi              (D97216081)

4.      Sri Indah                                         (D97216084)

5.      Weni Marina                        (D97216090)

PENDIDIKAN MADRASAH GURU IBTIDAIYAH

FAKULTAS TARBIYAH DAN KEGURUAN

UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SUNAN AMPEL SURABAYA

2017

KATA PENGANTAR

Alhamdulillah segala puji syukur selalu kami haturkan kehadirat Allah SWT  yang  senantiasa melimpahkan rahmat, taufik, hidayah, serta inayah-Nya kepada kami, sehingga kami bisa menyelesaikan tugas penyusunan Makalah Matematika yang berjudul “Barisan Deret Aritmatika dan Geometri”.

Kami selaku penyusun makalah menyampaikan ucapan terima kasih kepada:  

1.      Ibu Nurina Ayuningtyas, S.Pd, M.Pd selaku dosen Matematika yang telah memberikan  arahan dan bimbingan dalam pembuatan makalah ini.

2.      Orang tua yang  selalu  mendukung  kelancaran tugas kami, serta

3.      Tim anggota kelompok kami yang selalu kompak dan  konsisten dalam penyelesaian tugas ini.

Makalah Barisan Deret Aritmatika dan Geometri disusun untuk memenuhi salah satu tugas kelompok mata kuliah Matematika yang dibimbing oleh Ibu Nurina Ayuningtyas, S.Pd, M.Pd

Semoga adanya makalah ini dapat meningkatkan pengetahuan pembaca dan penulis agar lebih memahami tentang Barisan Deret Aritmatika dan Geometri. Akhir kata, tiada gading yang tak retak, tak ada di dunia ini yang sempurna walau sedikit pasti ada cacatnya. Saran dan Kritik yang membangun tetap kami nantikan demi kesempurnaan makalah ini.

Surabaya, 7 April 2017

                                                                                                            Penyusun

   Kelompok 6

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR..................................................................................... i

DAFTAR ISI................................................................................................... ii

PEMBAHASAN

A.    Definis............................................................................................ 1

B.     Barisan dan Deret Aritmatika......................................................... 1

C.     Barisan dan Deret Geometri........................................................... 4

D.    Penerapan Barisan Deret Aritmatika dan Geometri....................... 7

LATIHAN SOAL............................................................................................ 10

DAFTAR PUSTAKA

A.    Definisi

1.      Barisan

Barisan bilangan adalah susunan bilangan atau urutan bilangan yang dibentuk menurut pola atau aturan tertentu. Aturan tertentu tersebut dapat berupa rumus, bentuk aljabar atau bentuk persamaan lainnya. Masing-masing bilangan disebut suku barisan dan dilambangkan dengan huruf “U”. Suku umum suatu bilangan dilambangkan dengan “U_n” dimana “n” menunjukkan nomor urut suku (n adalah bilangan asli).

Jika bilangan pertama U₁, bilangan kedua U_2, bilangan ketiga U₃ . . ., dan bilangan ke-n adalah U_n, maka barisan bilangan itu dituliskan : U₁, U_2, U_{3, . . .} U_n.

2.      Deret

Jika suku-suku pada barisan bilangan itu ditulis dalam bentuk penjumlahan beruntun U₁ + U₂ + U₃ + . . . + Un maka penjumlahan tersebut disebut deret.

B.     Barisan dan Deret Aritmatika

1.      Barisan Aritmatika

Suatu barisan bilangan U₁, U₂, U₃, .... U_n disebut barisan aritmatika jika diantara dua suku yang berurutan mempunyai selisih (beda) yang konstan (tetap).

a.       Rumus Beda pada Barisan Aritmatika

b = U_n - U_n-1

Keterangan

U_n = suku ke-n

U_n-1 = suku ke (n-1)

b.      Rumus suku umum ke n

U_n = a + (n-1) b

Keterangan

a = suku pertama

b = selisih dua suku berurutan (beda)

c.       Rumus suku tenngah barisan aritmatika jika n ganjil

U_k =  (U₁ + U_2k-1)

Keterangan

U_k = suku tengah

U_2k-1 = suku terakir dari barisan  

aritmatika dengan n ganjil

d.      Sisipan ada barisan aritmatika

Jika diantara dua bilangan disispkan sebanyak k buah bilangan sehingga bilanga-bialngan semula dengan bilangan-bilangan yang disispkan membentk brarisan aritmatika, maka nilai beda barisan aritmatika yang terbentuk dapat ditentukan dengan rumus :

b’=

Keterangan

b = beda pada barisan aritmatika

sebelum disisipi

k = banyaknya bilangan yang

disispkan

b’ = beda pada barisan aritmatika

yang terbentuk

2.      Deret  Aritmatika

Deret aritmatika adalah penjumlahan berurut dari suku-suku suatu barisan aritmatika.

Rumus suku ke n deret aritmatika adalah

U_n  = a + (n-1) b               

Keterangan           

a = suku pertama

                                                           b = selisih dua suku berurutan

                                                           (beda)

Contoh soal :

Suku keenam dari suatu deret aritmatika adalah 17 dan suku ke-13nya adalah 38. Tentukanlah suku kesembilan belas.

Suku ke-n dari suatu deret adalah a + (n- 1) d

Suku ke-6    = a + (6 – 1) d = 17                 a + 5d   =  17

Suku ke-13  = a  + (13-1) d = 38               a + 12d =  38              -

                                                                                             -7d    = -21

                                                                                                d    =   3

      Subtitusikan a + 5d = 17               a + 5 x 3 = 17

a + 15  = 17

   a       = 17 – 15

             = 2

     Jadi suku ke- U₁₉     = 2 + (19-1) 3

            = 2 + (18).(3)

            = 2 + 54

= 56

Rumus jumlah suku n suku pertama deret aritmatika adalah

S_n = (a+U_n) atau S_n = (2a + (n-1) b)

Soal :

Tentukanlah jumlah 12 suku pertama dari deret 5, 9, 13, 17, ...

Jawab :

5, 9, 13, 17, ... adalah suku deret  aritmatik dimana a = 5, dan d = 4.

Jumlah dari suku dari suatu deret aritmatik,

     Sehingga jumlah dari 12 suku pertama,

                                                                            = 6 (10 + 44)

                                                                                                       

C.    Barisan dan Deret Geometri

1.      Barisan Geometri

Suatu bilangan  ,  ,  , … ,  disebut barisan geometri jika di antara dua suku yang beurutan mempunyai perbandingan (rasio) yang konstan (tetap).

a.     Rumus rasio pada barisan geometri

                                                                  Keterangan :  = suku ke - n

                                                                                    = suku ke – (n-1)

                

                        Contoh Soal

                        Diketahui suku pertama suatu deret geometri adalah 4 dengan suku

                        Ke-5 adalah 324. Tentukan rasio dari deret tersebut!

                        Penyelasian

                        Dari data soal di atas. U₅ = 324   a = 4 

                        Dari U_n = ar^n-1

                                Dengan demikian rasionya adalah 3 atau -3.

b.    Rumus suku umum ke-n

                                                    

                                                            Keterangan :  = suku pertama

                                                                                r = perbandingan dua   

                                                                               suku yang berurutan

            Contoh Soal

                          Diketahui suku pertama barisan geometri sama dengan 5,   sedangkan suku keduanya sama dengan 10. Tentukan rasio dan              

            rumus suku umum ke-5 dari barisan geometri.

           

            Penyelesaian

           

            Suku pertama :  =  = 5

            Suku kedua    :  = 10

            Rasio : r =  =  = 2

            Suku umum ke-5 ditentukan dengan rumus :

             = a = 5 .  = 5 .  = 80

            Jadi, rasio dan rumus suku umum ke-n dari barisan geometri

            tersebut adalah r = 2 dan  suku ke-5 adalah 80

c.     Rumus suku tengah barisan geometri jika n ganjil

                                                                        Keterangan :

                                                                                     = suku tengah

                                                                        = suku terakhir

    

Contoh Soal

Ditentukan barisan geometri  ,  ,  , … , 32. Banyaknya suku pada barisan geometri ini adalah ganjil. Tentukan suku tengahnya.

Penyelesaian

Suku pertama :   =

Rasio : r =  =  x 8 = 2

Suku terakhir :  = 32

 =  

  =  =  = 2

Jadi, suku tengah adalah 2

d.      Sisipan pada barisan geometri

                                          Keterangan : r = rasio sebelum disisipi                                     = rasio yang baru setelah  disisipi                                                                                                                                                                                                               

                                                  k = banyaknya bilangan yang disisipi

                       

                        Contoh Soal

Di antara bilangan 5 dan 1.215 disisipkan 4 buah bilangan, sehingga bilangan-bilangan semula dengan bilangan-bilangan yang disisipkan membentuk barisan geometri. Carilah rasio dari barisan geometri yang berbentuk!

                       

                        Penyelesaian

Dari soal diperoleh r =  = 243 dan k = 4 (genap). Maka nilai r’ ada satu kemungkinan. r’  =  = 3

Jadi, nilai rasio dari barisan geometri yang terbentuk adalah r’ = 3.

2.      Deret Geometri

Bila  ,  ,  , … ,  merupakan barisan geometri, maka  +  +  + … +  disebut deret geometri. Jika  merupakan jumlah n suku yang pertama dari deret geometri maka berlaku aturan :

 =    untuk   -1 < r < 1

 =    untuk  r < -1 atau r > 1

Keterangan

 = jumlah n suku pertama deret geometri

 = suku pertama

 = rasio

 = jumlah suku

Contoh Soal

Jumlah dari suku pertama dari deret geometri 1, 2, 4, 8, 16,  

 …adalah …

Penyelesaian

Diketahui        :           a = 1 , n = 8 , r = 2

Ditanya           :            ?

Jawab              :            =

                                                                =       

                                                                =

                                                                =   =  25.

D.    Penerapan Barisan Deret Aritmatika dan Geometri

Penerapan baris dan deret dalam kehidupan sehari-hari, contohnya

a.       Pengaturan kalender yang tanggal-tanggalnya tersusun atas baris dan deret.

b.      Menyusun nomor rumah di perumahan.

c.       Memperkirakan berapa jumlah ruangan tingkat di apartemen.

d.      Di bidang bisnis dan ekonomi, teori atau prinsip-prinsip deret sering diterapkan dalam kasus-kasus yang menyangkut perkembangan dan pertumbuhan.

e.       Dalam ilmu ekonomi barisan geometri dapat mengukur pertumbuhan penduduk.

f.       Pertumbuhan pangan dapat di ukur dalam barisan aritmatika.

Contoh Soal yang Berkaitan dengan Baris dan Deret dalam Model Perkembangan Usaha

Perusahaan genteng “Sokajaya” menhasilkan 3000 buah genteng pada bulan pertama produksinya. Dengan penambahan tenaga kerja dan peningkatan produktivitas, perusahaan mampu menambah produksinya sebanyak 500 buah setiap bulan. Jika perkembangan produksinya konstan , berapa buah genteng yang dihasilkan sampai dengan bulan tersebut ?

Jawab :

a = Suku Pertama  = 3.000

b = Pembeda         =    500

n                           =         5

Hasil Bulan Ke-5

 U₅       = a + (n – 1 ) b

            =  3.000 + (5 – 1 ) 500

            =  3.000 + 2.000

            =  5.0000

Jadi  hasil produksi pada bulan ke-5 adalah 5.000 genteng.

Jumlah Produksi genteng sampai bulan ke-5

 S₅  =  (a + U₅ )

       =  (3.000 + 5.000)

       =    ( 8.000)

       =  20.000

Jadi jumlah produksi henteng selama lima bulan adalah 20.000

Perusahaan keramik menghasilkan 5.000 buah keramik pada bulan pertama produksinya. Dengan adanya penambahan tenaga kerja, maka jumlah produk yang dihasilkan juga ditingkatkan. Akibatnya, perusahaan tersebut mampu menambah produksinya sebanyak 300 buah setiap bulannya. Jika perkembangan produksinya konstan setiap bulan, berapa jumlah keramik yang dihasilkannya pada bulan ke 12 ?. Berapa buah jumlah keramik yang dihasilkannya selama tahun pertama produksinya ?

Jawab :

Jumlah keramik yang dihasilkannya pada bulan ke 12

U₁₂ = a + (n – 1) b

      = 5.000 + (12 – 1) 300

      = 5.000 + (11) 300

      = 5.000 + 3.300 = 8.300

Jadi pada bulan ke 2 perusahaan tersebut dapat menghasilkan 8.300 buah keramik

Jumlah keramik yang dihasilkan dalam satu tahun pertama.

S12 = n/2 (a + U12 )

      = 12/2 (5.000 + 8.300)

      = 6 (13.300)

      = 79.800

LATIHAN SOAL

1. Tempat duduk gedung pertunjukkan film diatur mulai dari baris depan ke belakang dengan banyak baris dibelakang lebih 4 kursi di baris depannya. Bila dalam gedung pertunjukkan terdapat 15 baris kursi dan baris terdepan ada 20 kursi, kapasitas gedung pertunjukkan adalah...

A. 1.200 kursi

B. 800 kursi

C. 720 kursi

D. 600 kursi

E. 500 kursi

2. Jumlah n suku pertama deret aritmetika dinyatakan dengan Sn = n2 + 2n. Beda dari deret itu adalah...

A. 3

B. 2

C. 1

D. - 2

E. - 3

3. Diketahui suku ketiga dan suku kelima deret aritmetika berturut-turut adalah 18 dan 24. Jumlah tujuh suku pertama deret tersebut adalah...

A. 117

B. 120

C. 137

D. 147

E. 160

4. Suku kedua dari suatu barisan aritmetika adalah 5. Jika jumlah suku ke-4 dan ke-6 sama dengan 28, maka suku ke-9 adalah...

A. 19

B. 21

C. 23

D. 26

E. 28

5. Suku kedua barisan geometri adalah 3 dan suku  kelima adalah 81. suku ketujuh barisan tersebut adalah

a.       162

b.      243

c.       486

d.      729

e.       2.187

Daftar Pustaka

Bird John Bsc dkk, 2000, Matematika Dasar Teori dan Aplikasi Praktis. Jakarta : 

      Erlangga. Hlm.211 dan 2016.

Iskandar Kasir dan Murray r spiegel, 1999, Matematika Dasar. Jakarta : Erlangga.

       Hlm. 140.

LBB Ugama, Yogyakarta : Jl. Ringroad Selatan No.22. hlm. 70

Diambil dari http://www.johanakhmadin.web.id/2015/11/contoh-soal-barisan-deret-dan-pembahasannya.html Pada jam 11.40.

Diambil dari http://justthope.blogspot.co.id/2014/02/pengertian-baris-dan-deret.html. Pada jam 11.44

Puji Astuti, Matematika  SMA/MA Kelas X Semester Gasal, Viva Pakarindo.

        Hlm.62-70